İŞARETLİ BİNARY RAKAMLAR NEDİR ?

İşaretli binary rakamlar nedir ? İşaretli binary rakamlar nerelerde ve nasıl kullanılırlar ? İşaretli binary rakamların diğerlerinden farkı nedir ? Bu ve benzeri sorulara yanıt aradığımız İşaretli Binary Rakamlar Nedir adlı yazımızla karşınızdayız.

Başlayalım.

İŞARETLİ BİNARY RAKAMLAR

Matematikte pozitif sayılar (sıfır dahil) işaretsiz sayılar olarak gösterilir.Pozitif sayılar olduklarını göstermek için + işaretini önüne koymadık.

Ancak, negatif sayılarla uğraşırken sayının değerinde negatif olduğunu ve pozitif işaretsiz bir değerden farklı olduğunu ve işaretli  ikili sayılar için de aynı olduğunu göstermek için sayının önünde bir ‘-‘  işareti kullanırız.

Bununla birlikte, dijital devrelerde, sayısal sistemler “0” ve “1” olarak gösterilen ikili sayılarla çalıştığından bir sayıya artı veya eksi işareti koymak için bir hüküm yoktur.

Mikroelektronikle birlikte kullanıldığında, bir bit (BInary digiT‘in daralması) olarak adlandırılan bu “1” ve “0”lar, bayt veya sözcük gibi ortak adlarla atıfta bulunulan birkaç aralıkta sayı sayısına düşerler.

Daha önce bir 8-bit ikili sayısının (bir bayt) 0 (00000000₂) ila 255 (11111111₂) arasında değişen bir değere sahip olduğunu görmüştük, yani tek bir 8-bit bayt oluşturan 28 = 256 farklı bit kombinasyonundan bahsedebiliyorduk.

Örneğin, örneğin: 01001101₂ = 64 + 8 + 4 + 1 = 77₁₀ gibi işaretsiz bir ikili sayıdır.

Ancak, Dijital Sistemler ve bilgisayarlar da pozitif sayıları olduğu kadar negatif sayıları da kullanabilmelidir ve kullanmaktadır.

Matematiksel sayılar genellikle, işaretin sayının pozitif, (+) veya negatif (-) sayının büyüklüğünü belirten değerle (-), örneğin 23, + 156 veya -274 gibi kullanılır.

Sayıların sunulduğu bu moda “işaret büyüklüğü/önemi” olarak adlandırılır, çünkü en soldaki sayı işareti ve kalan basamakları belirtmek için kullanılabilir.

İşaret büyüklüğü gösterimi, en basit gösterimlerden birisidir ve sıfırın her iki yanında pozitif ve negatif sayıları temsil etmenin en yaygın yöntemlerinden biridir.

Bu nedenle, negatif sayılar basit bir şekilde karşılık gelen pozitif sayının işaretini değiştirerek elde edilir, çünkü her bir pozitif veya işaretsiz sayı, örneğin +2 -> -2, +10 -> -10 vb. gibi kullanılmaktadır.

Ancak elimizde sadece sıfırdan oluşan bir grup varsa işaretli ikili sayıları nasıl ifade ederiz?

İkili rakamların veya bitlerin yalnızca “1” veya “0” olmak üzere iki değerinin olduğunu biliyoruz ve bizim için uygun bir işaret, aynı zamanda “+” veya “-“ olmak üzere sadece iki değere sahiptir.

Ardından, işaretli bir ikili sayının değerini artı ya da eksi olarak belirtmek için tek bir bit kullanabiliriz. Yani bir ikili sayı pozitif (+n) ve negatif (-n) ikili sayıyı temsil etmek için bunları bir işaret ekleyerek kullanabiliriz.

İşaretli ikili sayılar için en önemli bit (MSB) işaret biti olarak kullanılır.

Eğer işaret biti “0” ise, bu sayı değerinde pozitif demektir.Eğer işaret biti “1” ise, sayı değeri negatiftir.

Sayıdaki geri kalan bitler, normal işaretli ikili sayı formatı biçiminde ikili sayının büyüklüğünü temsil etmek için kullanılır.

Ardından İşaret ve Büyüklük (SM) gösteriminin “n” toplam bitini iki bölüme ayırarak pozitif ve negatif değerleri sakladığını görebiliriz;

Burada bir bit sadece işaret için kullanılır ve geri kalan kısımlar ise sayıyı ifade eder.

Örneğin, 53 sayısını aşağıdaki gibi 8 bitlik işaretli bir ikili sayı olarak şu şekilde ifade edebiliriz.

+53 = (0)(0110101)₈ -> 0 : Pozitif işaret biti , 0110101 : Sayıyı ifade eden bitler

-53 =  (1)(0110101)₈ -> 1 : Negatif işaret biti , 0110101 : Sayıyı ifade eden bitler

Buradaki dezavantaj, tam aralıklı bir n-bit işaretsiz ikili sayıya sahip olmadan önce, azalan bir basamak aralığı veren  n-1 bit işaretli ikili sayıya sahip olmamızdır:

-2^(n-1) ila +2^(n-1) arası

Örneğin: İşaretli bir ikili sayıyı temsil etmek için 4 bitimiz varsa, (İşaret biti için 1 bit ve sayı bitleri için 3 bit), o zaman işaret büyüklüğü göstergesinde temsil edebileceğimiz gerçek sayı aralığı şu şekilde olacaktır;

-2 ^(4-1) – 1’den   +2^(4-1) – 1’e kadar.

-2⁽³⁾ -1’den   +2⁽³⁾-1’e kadar ->>> -7 ila +7 arası

Daha önce, işaretsiz bir 4-bit ikili sayının aralığı onaltılık olarak 0 ila 15 ya da 0 ila F olabilirdi, şimdi -7 ila +7 kısaltılmış bir aralığa sahibiz.

Bu nedenle, işaretsiz bir ikili sayı tek bir işaret biti içermez ve bu nedenle en önemli bit (MSB) kullanılan bir işaret biti yerine sadece ekstra bir bit veya rakam olduğundan daha büyük bir ikili aralığa sahip olabilir.

Buradaki işaret büyüklüğü formunun bir başka dezavantajı, sıfır, +0 veya 0000₂ için pozitif bir sonuç ve sıfır, -0 veya 1000₂ için negatif bir sonuç elde edebileceğimizdir.Her ikisi de geçerlidir ancak hangisi doğrudur.

İşaretli İkili Sayılar Örnek 1:

İşaret büyüklüğünü kullanarak aşağıdaki ondalık değerleri işaretli ikili sayılara dönüştürün:

-15₁₀ olarak 6 bitlik bir sayı ⇒ 101111₂

+23₁₀ 6 bitlik bir sayı olarak ⇒ 010111₂

-56₁₀, 8 bitlik bir sayı olarak ⇒ 10111000₂

+85₁₀ 8 bitlik bir sayı olarak⇒ 01010101₂

-127₁₀, 8 bitlik bir sayı olarak ⇒ 11111111₂

4 bitlik, 6 bitlik, 8 bitlik, 16 bitlik veya 32 bitlik işaretli bir ikili sayı için tüm bitlerin bir değere sahip olmaları gerektiğine dikkat edin, bu nedenle en soldaki işaret bitiyle boşlukları doldurmak için ilk veya en yüksek değer olan “1” arasında “0” kullanılır.

İkili sayının işaret büyüklüğü gösterimi, bu sistemi matematikte normal ondalık (taban10) sayılarla her zaman kullandığımızdan, işaretli ikili sayıları temsil etmek için kullanmak ve anlamak için basit bir yöntemdir.Burada ikili sayı negatifse önüne “1”, pozitif ise “0” eklenir.

Bununla birlikte, bu işaret büyüklüğü yönteminin kullanılması, aynı ikili değere sahip iki farklı bit paternin ortaya çıkmasına neden olabilir.

Örneğin, +0 ve -0, işaretli 4-bit ikili sayı olarak sırasıyla 0000 ve 1000 olacaktır.Bu nedenle, bu yöntemi kullanarak, sıfır için iki temsil, pozitif sıfır (0000₂) ve ayrıca bilgisayarlar ve dijital sistemler için büyük komplikasyonlara neden olabilecek negatif sıfır (1000₂) olabileceğini görüyoruz.

İşaretli Binary(İkili) Sayının 1’e Tamamlayıcısı

1’in Tamamlayıcısı, negatif ikili sayıları işaretli bir ikili sayı sisteminde göstermek için kullanabileceğimiz başka bir yöntemdir.Birin tamamlayıcısında, pozitif sayılar (tamamlayıcı olmayanlar olarak da bilinir), işaret büyüklüğü sayılarındaki gibi değişmeden kalır.

Bununla birlikte, negatif sayılar, işaretsiz pozitif sayının tamamlayıcısı (ters çevirme) alınarak gösterilir.

Pozitif sayılar her zaman “0” ile başladığından, tamamlayıcı negatif sayıyı belirtmek için her zaman “1” ile başlar.

Negatif ikili sayının tamamlayıcısı, pozitif muadilinin tamamlayıcısıdır; bu nedenle, bir ikili sayının tamamlayıcısını almak için tek yapmamız gereken, sırasıyla her biti değiştirmektir.

Böylece, birin 1’e tamamlayıcısı “0”dır ve bunun tersi  de aynı şekilde geçerlidir.Bu durumda 10010100₂‘nin tamamlayıcısı sadece 01101011₂‘dir.

Dijital aritmetik veya mantık kod çözücü devreleri kurarken işaretli bir ikili sayının tamamlayıcısını bulmanın en kolay yolu tersinir sistemleri kullanmaktır.

Inverter , tersinir sistemler  doğal olarak bir komplement, tamamlama üretecidir ve 1’in gösterildiği gibi herhangi bir ikili sayının tamamlayıcısını bulmak için kullanılabilir.

1’in Inverterleri Kullanarak Tamamlayıcısını Bulma

Burada bir ikili sayı N’nin tamamlayıcısını bulmanın çok kolay olduğunu görebiliyoruz, çünkü tek yapmamız gereken 1’leri 0’lar ile 0’ları 1’ler arası bir eşdeğer vermek için değiştirmek.

Aynı zamanda, önceki işaret büyüklüğü gösterimi gibi, birin tamamlayıcısı ayrıca: -2^(n-1) ve +2^(n-1) -1 aralığındaki sayıları temsil etmek için n-bit notasyonuna da sahip olabilir.

Birin tamamlayıcı formatındaki bitsel gösterim, -7 ile +7 arasındaki ondalık sayıları temsil etmek için iki sıfır gösterimi ile kullanılabilir: 0000 (+0) ve 1111 (-0) önceki gibi.

Birin Tamamlayıcısını Kullanarak Toplama ve Çıkarma

Bir’in Tamamlayıcısının en önemli avantajlarından biri iki ikili sayının toplanması ve çıkarılmasıdır. Matematikte, çıkarma A – B gibi farklı şekillerde uygulanabilir, A + (-B) veya -B + A vb. ile aynıdır.

Bu nedenle, iki ikili sayının çıkarılması komplikasyonu ekleme kullanarak basitçe yapılabilir.

Daha önce ikili eklemenin normal ekleme ile aynı kurallara uyduğunu gördük, ancak ikili sistemlerde sadece iki bit (rakam) varolduğundan ve en büyük rakam “1”, (9’un en büyük Ondalık basamak olduğu gibi) olduğundan ikili toplama için olası kombinasyonlar aşağıdaki gibidir:

(0 0 1 1) +  (+ 0 + 1 + 0 + 1)  =   0 1 1 1 ← 0 (0 artı elde 1)

Eklenecek iki sayının her ikisi de pozitif olduğunda, toplam A + B, doğrudan toplamla (sayı ve bit işareti dahil) birlikte eklenebilirler çünkü tekli bitler birlikte eklendiğinde, “0 + 0” , “0 + 1” veya “1 + 0”, “0” veya “1” toplamıyla sonuçlanır.

Bunun nedeni, birlikte eklenmesini istediğimiz iki bitin farklı (“0” + “1” veya “1 + 0”) olması durumunda, sonuç “1” olur.

Benzer şekilde, birlikte eklenecek iki bit eşit olduğunda (“0 + 0” veya “1 + 1”), sonuç “0” olur, siz “1 + 1” e ulaşana kadar toplam 0 olur ve 1+1 durumunda  elde kalan 1 taşınır.

İki İkili Sayının Çıkarılması

Biri tamamlayıcıyı kullanarak birbirinden aşağıdaki iki sayıyı 115 ve 27 çıkarmak için 8 bitlik bir dijital sistem gerekir.Yani ondalıkta şu şekilde olur: 115 – 27 = 88.

Öncelikle iki ondalık sayıyı ikiliye dönüştürmeli ve 8 bitlik bir sayı (bayt) üretmek için baştaki sıfırı ekleyerek her sayının aynı sayıda bit içerdiğinden emin olmalıyız.

Bu nedenle:

İkili olarak 115₁₀: 01110011₂

İkili olarak 27₁₀: 00011011₂

Şimdi ilk ikili sayıyı (01110011) değiştirmeden ikinci ikili sayı (00011011) tamamlayıcısını bulmamız gerekiyor.Bu nedenle, 1’lerin tümünü 0’lara ve 0’ları 1’lere değiştirerek, 00011011’in tamamlayıcısı 11100100’e eşittir.

İlk sayıyı ve ikinci sayının tamamlayıcısını eklemek şunları verir:

01110011 + 11100100  ->>  (1) 01010111    Not : (1) olan elde olan artan rakamdır.

Dijital sistem 8 bit ile çalışacağı için, toplamın cevabını sağlamak için yalnızca ilk sekiz rakam kullanılır ve sadece son biti (bit 9) yok sayarız.

Bu bit bir “taşma/elde” bitidir.Elde, en önemli (en soldaki) sütununun toplamı ileriye doğru bir hareket oluşturduğunda ortaya çıkar.

Bu taşma veya elde biti tamamen göz ardı edilebilirdir veya hesaplamalarında kullanılmak üzere bir sonraki dijital bölüme geçirilebilir.Elde cevabın pozitif olduğunu gösterir.

Elde yoksa cevap negatiftir.

Yukarıdaki 8 bitlik sonuç: 01010111 (“1” eldesi iptal edildi) ve bir tamamlayıcı işleminden geri çevirmek için, şimdi birincinin tamamlayıcısı sonucuna “1” eklemek zorunda olduğumuz bir gerçek cevaba dönüştürmek için:

01010111 + 1  -> 01011000

Bu nedenle, 1’in ikili kodunda tamamlayıcı kullanılarak 115’ten (01110011₂) 27’nin (00011011₂) çıkarılmasının sonucu şu cevabı verir: 01011000₂ veya (64 + 16 + 8) = 88₁₀ ondalık olarak.

Daha sonra, işaretli veya işaretsiz ikili sayıların, Birin Tamamlayıcısı ve ekleme işlemi kullanılarak birbirinden çıkarılabileceğini görebiliriz.

TTL 74LS83 veya 74LS283 gibi ikili eklentiler, iki adet 4-bit işaretli ikili sayı eklemek veya çıkarmak için kullanılabilir ya da bir araya getirme ile tamamlanan 8-bit eklentileri üretmek için birlikte basamaklandırılabilir.

İşaretli İkili Sayının İkiye Tamamlayıcısı

İkisinin Tamamlayıcısı ya da 2’inin Tamamlayıcısı olarak da adlandırıldığı gibi, tamamlayıcı işaret büyüklüğü ve birin tamamlayıcı formu gibi başka bir yöntem olup işaretli bir ikili sayı sisteminde negatif ikili sayıları temsil etmek için kullanabileceğimiz bir yöntemdir.

İkisinin tamamlayıcısında, pozitif sayılar, işaretsiz ikili sayılar gibi öncekiyle aynıdır.Bununla birlikte, negatif bir sayı, karşılık gelen pozitif eşdeğerine eklendiğinde sıfırla sonuçlanan bir ikili sayı ile ifade edilir.

İkinin tamamlayıcı biçiminde, negatif bir sayı, 2’nin pozitif sayının tamamlayıcısıdır, iki sayının A – B = A + (2’nin B tamamlayıcısı) olması, temelde daha önce olduğu gibi aynı işlemi kullanarak yağtığımız gibi birin tamamlayıcısıdır..

İkinin tamamlayıcısının öncekinin tamamlayıcısına göre en büyük avantajı, çift sıfır sorun olmaması ve ikisinin işaretli bir ikili sayının tamamlayıcısını oluşturmasının çok daha kolay olmasıdır.

Bu nedenle, sayılar ikinin tamamlayıcı biçiminde gösterildiğinde, aritmetik işlemlerin gerçekleştirilmesi daha kolaydır.

İki tamamlayıcıyı kullanarak iki 8 bitlik sayımız olan 115 ve 27’nin yukarıda bahsettiğimiz gibi ikili eşdeğerleri;

İkili olarak 115₁₀: 01110011₂

İkili olarak 27₁₀: 00011011₂                      

Sayılarımız 8 bit uzunluğunda olduğundan ilgili rakamları temsil etmek için 2⁸ basamak vardır ve bu ikilide: 100000000₂ veya 256₁₀’dır.

(2⁸)₂ – 00011011 = 100000000 – 00011011 = 11100101₂

İkinci negatif sayının tamamlanması, çıkarma işlemi için iki sayının daha kolay bir şekilde eklenmesi anlamına gelir, bu nedenle toplam şu şekildedir: 115 + (2’nin 27 tamamlayıcısı):

01110011 + 11100101 = 10 01011000₂

Daha önce olduğu gibi, 9. taşma biti, yalnızca ilk 8 bit ile ilgilendiğimiz için göz ardı edilir, bu nedenle sonuç: 01011000₂ veya (64 + 16 + 8) = 88₁₀ şeklinde olacaktır.

İşaretli İkili Sayılar Özeti

Negatif ikili sayıların en anlamlı bit (MSB) ile işaret biti olarak gösterilebileceğini gördük.

Bir n bit ikili sayı işaretliyse, en soldaki bit  dışındakiler sayıyı temsil etmek için kullanılır.

Örneğin, 4 bitlik bir ikili sayıda bu, gerçek sayıyı tutmak için sadece 3 bit bırakır.Bununla birlikte, ikili sayı işaretli değilse, tüm bitler sayıyı temsil etmek için kullanılabilir.

İşaretli bir ikili sayının gösterimi, genellikle işaret büyüklüğü notasyonu olarak adlandırılır ve işaret biti “0” ise, sayı pozitifdir.

Eğer işaret biti “1” ise, sayı negatiftir.İkili aritmetik işlemlerle uğraşırken, negatif sayının tamamlayıcısının kullanılması daha uygundur.

Tamamlama, negatif ikili sayıları temsil etmenin alternatif bir yoludur.Bu alternatif kodlama sistemi, basit toplama kullanarak negatif sayıların çıkarılmasını sağlar.

Pozitif işaret büyüklüğü sayıları her zaman sıfırla (0) başladığından, tamamlayıcısı, aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi negatif bir sayıyı belirtmek için her zaman bir (1) ile başlayacaktır.

4-bit İşaretli İkili Sayı Karşılaştırma Tablosu

İşaretli tamamlayıcı ikili sayı biçimleri, 1’in tamamlayıcısını veya 2’nin tamamlayıcısını kullanabilir.1’in tamamlayıcısı ve 2’nin bir ikili sayının tamamlayıcısı, negatif sayıların gösterilmesine izin verdiği için önemlidir.

2’ye tamamlayıcı aritmetiği yöntemi, bilgisayarlarda negatif sayıları işlemek için yaygın olarak kullanılır, tek dezavantaj, negatif ikili sayıları işaretli ikili sayı biçiminde göstermek istiyorsak, daha önce sahip olduğumuz pozitif sayı aralığının bir kısmını bırakmak zorundayız.

İŞARETLİ BİNARY RAKAMLAR NEDİR SONUÇ:

Bugün İşaretli Binary Rakamlar Nedir adlı yazımızla karşınızdaydık.Umuyorum faydalı birtakım bilgiler edinmişsinizdir.

İyi Çalışmalar